المحاضرة (2)

علم المتجهات

Vector and Scalar

جميع الكميات الفيزيائية (أساسية أو مشتقة) يمكن تقسيمها إلى نوعين، الأول الكمية القياسية scalar  والثانية الكمية المتجهة vector .  الكمية القياسية يمكن تحديدها بمقدارها فقط، مثل أن تقول أن كتلة جسم  5kg.  أما الكمية المتجهة تحتاج إلى أن تحدد اتجاهها بالإضافة إلى مقدارها، مثل سرعة الرياح  10km/h غرباً.

في الجدول التالي قائمة ببعض الكميات القياسية والكميات المتجهة.

Scalar Quantity

Vector Quantity

Length

Displacement

Mass

Force

Speed

Acceleration

 

 Coordinate system

نحتاج في حياتنا العملية إلى تحديد موقع جسم ما في الفراغ سواءً كان ساكناً أم متحركاً، ولتحديد موقع هذا الجسم فإننا نستعين بما يعرف بالإحداثيات Coordinates، وهناك نوعان من الإحداثيات التي سوف نستخدمها في هذا الكتاب وهما Rectangular coordinates و polar coordinates.

The rectangular coordinates

The rectangular coordinate system in two dimensions is shown in Figure 1.1.  This coordinate system is consist of a fixed reference point (0,0) which called the origin. A set of axis with appropriate scale and label.

The polar coordinates

Sometimes it is more convenient to use the polar coordinate system (r,q), where r is the distance from the origin to the point of rectangular coordinate (x,y), and q is the angle between r and the x axis.

 

The relation between coordinates

The relation between the rectangular coordinates (x,y) and the polar coordinates

(r,q) is shown in Figure 1.3, where,

 

            x = r cos q                   (1.1)

And

            y = r sin q                     (1.2)

Squaring and adding equations (1.1) and (1.2) we get

                 (1.3)

 

Dividing equation (1.1) and (1.2) we get

            tan q= x/y                     (1.4)

 

Properties of Vectors

Vector addition

Only vectors representing the same physical quantities can be added.  To add vector A to vector B as shown in Figure 1.5, the resultant vector R is

            R= A + B                   (1.5)

Notice that the vector addition obeys the commutative law, i.e.

             A + B = B + A            (1.6)

 

The unit vector

A unit vector is a vector having a magnitude of unity and its used to describe a direction in space.

 

المتجه  A  يمكن تمثيله بمقدار المتجه A ضرب متجه الوحدةa  كالتالي

            A = a A                      (1.10)

                                                    

كذلك يمكن تمثيل متجهات وحدة (i, j, k) لمحاور الإسناد المتعامدة rectangular coordinate system x, y, z) كما في الشكل التالي:-

Product of a vector

There are two kinds of vector product the first one is called scalar product or dot product because the result of the product is a scalar quantity.  The second is called vector product or cross product because the result is a vector perpendicular to the plane of the two vectors.

ينتج من الضرب القياسي كمية قياسية وينتج من الضرب الإتجاهي كمية متجهة

The scalar product

يعرف الضرب القياسي scalar product بالضرب النقطي dot product وتكون نتيجة الضرب القياسي لمتجهين كمية قياسية، وتكون هذه القيمة موجبة إذا كانت الزاوية المحصورة بين المتجهين بين 0 و 90 درجة وتكون النتيجة سالبة إذا كانت الزاوية المحصورة بين المتجهين بين 90 و 180 درجة وتساوي صفراً إذا كانت الزاوية 90.

يعرف الضرب القياسي لمتجهين  بحاصل ضرب مقدار المتجه الأول  في مقدار المتجه الثاني  في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما.

                                            (1.16)

يمكن إيجاد قيمة الضرب القياسي لمتجهين باستخدام مركبات كل متجه كما يلي:

The scalar product is

The vector product

يعرف الضرب الاتجاهي vector product بـ cross product وتكون نتيجة الضرب الاتجاهي لمتجهين كمية متجهة.  كما في الشكل التالي:

To evaluate this product we use the fact that the angle between the unit vectors i, j , k is 90o.

 

رجوع الي المحاضرات